No es fácil interpretar números grandes, a pesar de que surgen frecuentemente al contar objetos en el mundo natural. Uno de los más conocidos es cien mil millones, o 1011 (un 1 seguido de 11 ceros), aproximadamente igual al número de estrellas en una galaxia, de galaxias en el universo conocido y de neuronas en el cerebro humano. Cien mil millones es un número grande, qué duda cabe.
Pero el número aproximado de granos de arena en todas las playas de la Tierra es 100 millones de veces mayor (1019), y el de estrellas en el universo observable es 1000 veces mayor aún (1022), según se deduce del párrafo anterior (1011 x 1011).
Si buscamos el número más grande que surge al estudiar el mundo natural, podríamos llegar a la cantidad de átomos en el universo conocido, la cual se estima en 1080.
Esos son números grandes para las personas comunes, pero para algunos matemáticos son pequeños números grandes. Un número más interesante para ellos sería el Gúgol, definido como 10100, un 1 seguido de 100 ceros, 100 trillones de veces mayor que el anterior.
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| El Gúgol |
Luego se puede mencionar el Gúgolplex, que es igual a 10 elevado a un Gúgol, es decir, 10^10100, un 1 seguido de 10100 ceros.
Carl Sagan lo explica a continuación.
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| Carl Sagan, explicando lo anterior |
Si se intentara escribir un Gúgolplex en una tira de papel, y cada cero tuviera 1 centímetro de ancho, la longitud de la tira sería 10100 cm, igual a 1098 m, o 1095 km. Como 1 año-luz equivale a 1013 km, la tira tendría una longitud de 1082 años-luz. Pero el universo observable "sólo" tiene un tamaño de 1011 años-luz, así que la tira de papel tendría una longitud muchísimo mayor que el tamaño del universo conocido.
El documental "Hasta el Infinito y más allá" de la BBC presenta a varios especialistas comentando el tema. No tiene subtítulos, así que traduzco algunos fragmentos. Las marcas de tiempo están en el formato MM:SS.
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| Hasta el Infinito y más allá |
08:40 - El número más grande usado alguna vez en una demostración matemática, incluido en los Récord Guinness de 1980, es el número de Graham (NG). Un NG es inimaginablemente mayor que un Gúgolplex; de hecho, ni siquiera es posible escribirlo usando potencias. Es tan grande, que si se grabaran sus dígitos en "bolas de billar" 1 millón de veces más pequeñas que un electrón, no sería posible alojarlas a todas en el volumen del universo conocido.
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| Ron Graham, explicando el número que lleva su nombre |
A pesar de que yo descubrí el número, explica Graham, sé muy poco acerca de él. No sé cuantos dígitos tiene, ni cual es su primer dígito, y es posible que nadie lo sepa nunca.
En todo caso el NG es un número finito, y Graham puede demostrar que su último dígito es un 7. Algo es algo.
Pero aún siendo el NG un número gigantesco, está tan lejos de infinito como un Gúgol, un millón, e incluso el número 1. Aunque pudiéramos contar hasta llegar al NG, no habríamos avanzado ni un paso en el camino que lleva a infinito. En comparación con ese esfuerzo, una hormiga que sube por una rama habría completado una fracción mucho mayor de la distancia que la separa de la Luna.
20:46 - Gregory Chaitin advierte: uno de los problemas con infinito es que tiene propiedades paradójicas, y varias preguntas básicas acerca del mismo que no podemos responder, así que debemos ser cuidadosos. Es como criar a un oso polar. Crecemos junto a él, es una maravillosa mascota, es grande, es rápido, juega muy bien en la nieve, pero siempre existe la posibilidad de que un día se moleste con nosotros y nos arranque la cabeza… Jugamos con fuego, creo.
22:27 - Doron Zeilberger confiesa: ...prefiero las matemáticas finitas a aquellas que tratan con infinito. Pienso que son más naturales, más atractivas, más hermosas. Es algo que se puede tocar y sentir, algo con lo cual relacionarse. Las matemáticas del infinito no tienen sentido para mí. En mi opinión, infinito no es más que una invención de la mente humana.
El conductor del documental interviene: ... pero no creer en infinito plantea un problema para el profesor Zeilberger: si los números no continúan indefinidamente, ¿donde terminan?
Zeilberger replica: cuando comenzamos a contar, aparentemente podemos continuar para siempre, pero eventualmente alcanzaremos el número más grande, y entonces, al añadirle 1, volveremos a cero. ...El número más grande es mucho mayor que lo que se pueda imaginar. Es más grande que un Gúgolplex, más grande incluso que un Gúgolplex elevado a un Gúgolplex... es tan inmenso que nunca podremos visualizarlo. Pero existe. Y si lo alcanzamos y seguimos contando, volveremos a cero. Es como caminar sobre el planeta: eventualmente volveremos al punto de partida. Y si eso les parece absurdo, consideren la alternativa: es más absurda aún…
30:48 - Hugh Woodin discrepa: …quienes niegan el infinito y afirman que no existe… no sé de qué forma esa postura enriquece nuestro mundo. Lo siento por ellos. Es posible que el infinito no exista, pero es una hermosa temática. Podría decir: las estrellas no existen, quédense en casa y miren siempre hacia abajo, pero no verían la belleza de las estrellas… Hasta que alguien tenga una buena razón para dudar de la existencia del infinito matemático, no le veo sentido a la negación…
Como decía Chaitin en el ejemplo del oso, jugar con infinito es riesgoso; es fácil salir lastimado, tal como le ocurre al apologista cristiano William Lane Craig, quien se contradice al tratar de demostrar la existencia del dios en el que cree.
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| William Lane Craig, manipulando el Infinito |
El video "Debunking the Kalam Cosmological Argument", entre 03:54 y 04:23, lo muestra aseverando: …infinito es sólo una idea en vuestra mente, no algo que existe en la realidad… y luego, refiriéndose al instante en el que se inicia la expansión de nuestro universo: …un estado de densidad infinita en algún momento del pasado finito. Este estado representa una singularidad, en la que la curvatura del espacio-tiempo, la temperatura, la presión y la densidad se tornan infinitas…
¿En qué quedamos?
El tamaño del universo
En la segunda mitad del siglo XVI, el filósofo Giordano Bruno afirmó que el universo era infinito y que debían existir muchos otros planetas habitados orbitando estrellas similares a nuestro Sol. Esas creencias no fueron del agrado de nuestra Santa Madre la Iglesia Católica, que resolvió el problema quemándolo en la hoguera. Sólo Dios podía ser infinito, y Bruno no quería aceptarlo. Él se lo buscó.
Retomo el documental de la BBC.
32:53 - Max Tegmark no puede decidirse: el universo es infinito los Lunes, Miércoles y Viernes, bromea, y finito el resto de la semana... Me cuesta mucho adoptar una posición.
33:30 - Douglas Leonard comenta: algunos concluyen que el universo debe ser infinito porque de otra forma tendría un límite, un borde. ¿Qué sucedería entonces si lo alcanzáramos? No podríamos "salir" del universo, así que tal borde no puede existir, y por lo tanto, el universo debe ser infinito…
Pero si se acepta la premisa de que el universo es infinito, lo increíble se torna inevitable, advierte el conductor.
43:30 - Tegmark lo ilustra mediante una analogía con un "universo ridículamente simple" compuesto de 4 "partículas" (bolas de billar), las cuales son de 2 tipos (colores). En este caso sólo existen 16 formas diferentes en las que esas partículas pueden ser dispuestas. Cualquier conjunto nuevo tiene que ser idéntico a alguno de los existentes, y estará separado de los otros por el tamaño del conjunto, más o menos.
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| "Universos" compuestos de 4 bolas de billar |
Dice Tegmark: ...en nuestro universo existen muchas más formas de ordenar las partículas, pero el número sigue siendo finito, y el mismo tipo de cálculo debiera servir para estimar la distancia a la cual debiera existir una copia idéntica de la Tierra, y una copia exacta mía.
En la mesa de billar los universos tenían 4 bolas, y existían 24 = 16 combinaciones posibles. En el universo observable se pueden colocar 10118 partículas subatómicas, así que el número de combinaciones es 2^(10118), un número colosal.
Luego, para llegar al siguiente universo, lo multiplicamos por el tamaño de este universo, que es aproximadamente 1026 metros, pero ese es un número muy pequeño en comparación con el anterior, así que lo ignoramos. Entonces, si viajamos 2^(10118) metros o algo así, debiéramos encontrar una copia perfecta de nuestro universo, incluyendo a la Tierra con todos sus habitantes.
Creo que cuando vi a Tegmark tarjar 1026 como si fuera 1, perdí un latido. En ciencias e ingeniería es algo habitual redondear algunos cálculos al orden de magnitud más cercano, pero ignorar 26 factores de 10 es demasiado, incluso para un cosmólogo.
Pero Tegmark tiene razón, ya que
2 ^ (10118) = 10 ^ (log(2) x 10118) ≈ 10 ^ (0.301 x 10118) ≈ 10 ^ (10117.48)
así que el número en cuestión tiene muchos más dígitos que un Gúgolplex.
Podemos sumarle 26 al exponente de ese número (10117.48) para que corresponda a metros, quitarle 3 para cambiarlo a kilómetros, restarle otros 13 para expresarlo en años-luz, pero es como agregar o quitar gotas de agua al océano. La distancia es inconcebiblemente grande en comparación con los "insignificantes" 1011 años-luz que abarca el universo observable, así que de todas formas el viaje sería interminable.
Pero al mismo tiempo es un número minúsculo en comparación con infinito, así que en un universo infinito tienen que existir copias de la Tierra y copias de nosotros, algunas idénticas y otras con ligeras variantes. No podría ser de otra forma, ya que el tamaño del universo sería infinito, pero el número de combinaciones de las partículas elementales que lo componen es finito.
Entonces, ¿es el tamaño del universo finito o infinito?
Estupendo artículo para empezar el año!!!
ResponderBorrarSaludos a todos y un buen 2014.
Gracias, Renzo.
ResponderBorrarMi opinión -de aficionado al tema- es la siguiente: los números no "existen" como entidades independientes, y por lo tanto no se "descubren", como cuando Colón descubrió América. Los números son representaciones mentales que los seres vivos con cierta capacidad intelectual utilizamos para contar objetos en el mundo natural, y pueden ser expresados de diversas formas, como los números romanos, en base 2, 8 o 16 (computación), etc. Si existieran ET inteligentes en otra galaxia, seguramente habrán creado sus propios números.
El número infinito no aplica al mundo natural, porque no existen infinitos objetos de ningún tipo. El número infinito es una abstracción mental usada en matemáticas, ciencias e ingeniería para referirse a un número tan grande, que torna insignificante a cualquier otra cantidad presente en el cálculo.
El universo no puede ser infinito porque se ha estado expandiendo a una velocidad finita (aunque haya sido mayor que la de la luz) durante un tiempo finito (13.800 millones de años).
Dice el conductor del documental: "pero no creer en infinito plantea un problema para el profesor Zeilberger: si los números no continúan indefinidamente, ¿donde terminan?"
Falsa dicotomía. Continúan indefinidamente pero nunca terminan, nunca alcanzan infinito.
Dice Zeilberger: "cuando comenzamos a contar, aparentemente podemos continuar para siempre, pero eventualmente alcanzaremos el número más grande, y entonces, al añadirle 1, volveremos a cero."
No lo creo. Siempre podemos añadir 1 a cualquier número, por grande que sea, y obtendremos uno más grande.
Dice Woodin: "quienes niegan el infinito y afirman que no existe… no sé de qué forma esa postura enriquece nuestro mundo. Lo siento por ellos. Es posible que el infinito no exista, pero es una hermosa temática. Podría decir: las estrellas no existen, quédense en casa y miren siempre hacia abajo, pero no verían la belleza de las estrellas…"
Que algo enriquezca o no a nuestro mundo es irrelevante para determinar su existencia. La presencia de Superman probablemente enriquecería nuestro mundo, pero eso no implica que deba alucinar con Superman salvando a la gente de morir en catástrofes.
La analogía con las estrellas es falaz: las estrellas existen. Si el Sr. Woodin no está seguro, le recomiendo que viaje al Sol como en la película "Sunshine".
Dice Craig: "un estado de densidad infinita en algún momento del pasado finito. Este estado representa una singularidad, en la que la curvatura del espacio-tiempo, la temperatura, la presión y la densidad se tornan infinitas…"
Esa es una predicción de la Relatividad General, pero la RG no aplica a escala cuántica. La densidad, temperatura y presión no tuvieron que ser infinitas en t=0 habida cuenta de las incertidumbres cuánticas.
Bruno se equivocó, pero no merecía la hoguera. El Papa de la época, sí :)
Leonard dice: "algunos concluyen que el universo debe ser infinito porque de otra forma tendría un límite, un borde. ¿Qué sucedería entonces si lo alcanzáramos? No podríamos "salir" del universo, así que tal borde no puede existir, y por lo tanto, el universo debe ser infinito…"
Supongo que la madre naturaleza se encarga de que no podamos viajar más rápido que el "borde" del universo, y hasta ahora lo ha conseguido.
La analogía de Tegmark (universos de bolas de billar) no plantea problemas a mi actual postura, porque no creo que el universo sea infinito.
Entonces, ¿es el tamaño del universo finito o infinito?
Finito, a menos que me demuestren lo contrario.
Saludos.
La verdad Jack es que prácticamente contestaste varias de las observaciones que tenía.
ResponderBorrarTampoco creo en los infinitos materiales, porque, entre otras cosas no veo como puedan verificarse. Siempre he creido que para certificar un infinito hay que medirlo, pero si es un infinito, se necesitaría un infinito tiempo para medirlo y por lo tanto para verificarlo. Asi que desde mi ignorante posición, los únicos infinitos posibles son los matemáticos y los que nos imaginemos en la ciencia ficción. Aqui tengo que hacer, por supuesto, una excepción: creo en la posibilidad de que cualquier cosa que sea la materia, ella podría haber existido siempre y existir para siempre en el futuro Pero, recuerden, es una posición desde mi ignorancia.
Voltaire, iba a incluir ese último punto en la entrada, pero lo dejé para más adelante, porque no puedo encontrar una postura consistente. Quizás escriba pidiendo ayuda. Saludos.
ResponderBorrarUna entrada clásica, Jack.
ResponderBorrarConcuerdo con todas tus opiniones e informaciones y con Voltaire, menos con una sola cosa que dices, Jack.
Yo siempre he interpretado a Zeilberger como a un materialista, anti platonista y finitista, razón por la cual el que se pueda hacer X + 1 = un número más grande que X es totalmente irrelevante para él. Es como decir "un cerdo de color verde y alas de cisne rosas que pasa volando", se pude decir pero no tiene referente real por lo que su utilidad, si la tiene no es epistemológica. Y la pregunta sobre si existen o no los infinitos es una pregunta epistemológica para un materialista, no platonista, finitista que solo puede ser respondida con referentes reales.
Habría que encontrar la manera de presentarle la pregunta al interesado.
Saludos.
Cuanto tiempo debe vivir dios para estar seguro que es infinito? :)
ResponderBorrarOtra:
Cómo sabe dios que es infinito?
Hola Atilio
ResponderBorrarZeilberger dice que el número más grande existe. Designemos ese número como Z. Zeilberger dice que si le suma 1 a Z obtiene 0. Yo creo que se obtiene Z+1.
"Y la pregunta sobre si existen o no los infinitos es una pregunta…"
Yo no hice esa pregunta. Pregunté: ¿es el tamaño del universo finito o infinito?, y la respondí.
Sobre la infinitud del tiempo no he opinado.
Saludos.
Atilio
ResponderBorrarEstuve leyendo algo sobre Zeilberger y su ultrafinitismo, pero no entiendo porqué él necesita que exista el número más grande. A mí me parece que se puede contar indefinidamente sin llegar nunca al número infinito.
En mi breve peregrinaje por el ultrafinitismo encontré este chiste.
Un gugologista pregunta a un ultrafinitista: "¿crees en el 1?"
"Sí", responde el ultrafinitista.
"Ok, ¿crees en el 2?"
El ultrafinitista hace una pausa de 1 segundo y responde: "sí"
"¿Crees en el 3?"
El ultrafinitista piensa durante 2 segundos y responde: "sí"
"¿Crees en el 4?"
El ultrafinitista espera 4 segundos y responde: "sí"...
Saludos.
Jack:
ResponderBorrarYo no dije que tu preguntaste si existen los infinitos. Hice referencia al tema del vídeo que colgaste que es precisamente si los infinitos existen o no.
Tampoco quise decir con mis preguntas que tu afrimabas algo respecto del tiempo sino que fue una continuación con mi foco sobre el video que colgaste.
Disculpa si me voy del tema que propusiste. No es mala intención sino distracción.
Con respecto a la gran dificultad que hay en aceptar que haya el número más grande, déjame que copie y pegue una parte de la entrada sobre filosofía de matemáticas de la Stanford:
"If one sympathizes with Hilbert's concern but does not believe in the existence of abstract entities, then one might bite the bullet and claim that there are only finitely many mathematical entities, thus contradicting the basic principles of elementary arithmetic. This leads to a position that has been called ultra-finitism (Essenin-Volpin 1961).
On most accounts, ultra-finitism leads, like intuitionism, to revisionism in mathematics. For it would seem that one would then have to say that there is a largest natural number, for instance. From the outside, a theory postulating only a finite mathematical universe appears proof-theoretically weak, and therefore very likely to be consistent. But Woodin has developed an argument that purports to show that from the ultra-finitist perspective, there are no grounds for asserting that the ultra-finitist theory is likely to be consistent (Woodin 2011).
Regardless of this argument (the details of which are not discussed here), many already find the assertion that there is a largest number hard to swallow. But Lavine has articulated a sophisticated form of set-theoretical ultra-finitism which is mathematically non-revisionist (Lavine 1994). He has developed a detailed account of how the principles of ZFC can be taken to be principles that describe determinately finite sets, if these are taken to include indefinitely large ones".
Como se observa, el tema es muy complejo y yo no tengo la autoridad para dirimirlo.
Concuerdo, por principios materialistas generales que, como dice la cita, "si las entidades abstractas (matemáticas) no existen per se, entonces el número más grande debe existir. Inclusive la teoría de la información parece decri la msima cosa pues, si las matemáticas son un lenguaje, hay un número limitado de convinaciones posibles que siguiendo mi ejemplo sobre el cerdo volador, hay un número de adjetivos y características contextuales limitadas, aún si se usa la fantasía, para predicar sobre el cerdo. De la misma manera debe haber el número más grande, aunque es muy muy grande y no sabemos cual es ni porqué es ese y no otro. La capacidad que se tiene de escribr la ecuación del + 1 es, para mi, un tema que resta a clarificar pero, como dije, no soy una autoridad en el tema y tuve que abandonar mi curso de filosofía de matemáticas pro razones profesionales, así que no puedo aportar nada sobre ese problema en particular. No olvidar tampoco que cuando se comienza a preguntar el porqué de las cosas se cae en sesgos cognitivos.
Saludos.
Jack:
ResponderBorrarEn el mismo lugar donde encontraste la historia graciosa, encontré una definición de ultrafinitismo como respuesta a la pregunta si se puede o no hacer matemáticas con la premisa del número más grande. La respuesta es, en mi opinión, muy interesante:
"ultrafinitism is the mathematics of the feasibly computable".
Yo, como materialista monista que piensa, como Smolin, que el tiempo es real, entre otras cosas, considero la respuesta deliciosa y pregunto en mi turno:
"que sentido tiene otra actividad?"
Saludos.
Ok, gracias por la aclaración. Releí tu primer comentario y me percaté de que no lo interpreté bien.
ResponderBorrarSaludos.
Ahora hago propaganda :)
ResponderBorrarParece que las tres autoridades más importantes del ultrafinitismo son personas muy interesantes. No solo el mencionado Zeilberger, cuyo coraje está fuera de dudas, sino también Robin Gandy que fue amigo de Allan Turing (I rest my case, Your Honour) y la presencia de Wittgenstein entre los fundamentos filosóficos de la postura (aunque hoy día creo que los trabajos de Don Ross Y Ladyman concernientes a la naturalización de la metafísica son más apropiados aún.
Si uno se pone en adversario, se podría derrotar la postura contraria, un poco a la manera que hace Zeilberger preguntado sobre qué es más irracional o contradictorio, simplemente preguntando por la demostración de infinitos. Donde está la evidencia?
Aquí hay una buena entrada de un estudioso de las matemáticas que tiene problemas para comprender y aceptar el ultrafinitismo:
http://maverickphilosopher.typepad.com/maverick_philosopher/2010/08/doron-zeilbergers-ultrafinitism.html
Y aquí un paper de Zeilberger que, por lo que puedo comprender, es un mazazo al platonismo infinitista:
http://www.math.rutgers.edu/~zeilberg/mamarim/mamarimPDF/real.pdf
para terminar este punto, una anécdota. Parece que el creador del ultrafinitismo, Alexander Esein-Volpin, fue encarcelado en Rusia y, luego de varias demandas de muchas figuras, fue liberado. Vladimir Bukovsky, el gran neurólogo disidente comentó que la razón de la encarcelación de Volpin fue porque sufría de "honestidad patológica", una tara mental que uno debe tener para poder ser materialista monista naturalista y ultrafinitista :)
Saludos.
En cuanto a si el universo es infinito, nadie lo sabe ni se puede saber si es infinito, así que no se que decir.
ResponderBorrarSaludos.
Gracias Jack por tu respuesta, que no había visto antes.
ResponderBorrarSobre el tema de la realidad o no de las matemáticas, una postura "madre" del ultrafinitismo, es el muy mal llamado "Intuicionismo", cuya premisa fundamental es la muy conocida por nosotros por la cual las actividades intelectuales humanas son "constructivas" y no "descubrimientos" de una realidad objetiva.
http://en.wikipedia.org/wiki/Intuitionism
Claramente, cualquiera que no sea dualista o platonista debe estar de acuerdo con esa premisa inicial.
Saludos.
Zeilberger Dixit:
ResponderBorrarI am not a professional philosopher of mathematics, nor an expert logician or foundationalist, but
I think that the philosophy that I am advocating here is called ultra finitism. If I understand it
correctly, the ultra finitists deny the existence of any in finite, not even the potential in finity, but their
motivation is `naturalistic', i.e. they believe in a `fade-out' phenomenon when you keep counting.
Myself, I don't care so much about the natural world. I am a platonist, and I believe that fi nite
integers, finite sets of fi nite integers, and all fi nite combinatorial structures have an existence of
their own, regardless of humans (or computers). I also believe that symbols have an independent
existence. What is completely meaningless is any kind of in finite, actual or potential.
So I deny even the existence of the Peano axiom that every integer has a successor. Eventually
we would get an overflow error in the big computer in the sky, and the sum and product of any
two integers is well-defi ned only if the result is less than p, or if one wishes, one can compute them
modulo p. Since p is so large, this is not a practical problem, since the overflow in our earthly
computers comes so much sooner than the overflow errors in the big computer in the sky.
Yo creía que los infinitos existían en matemáticas. O al menos eso le entendí a Cantor.
Pero ahora ocurre algo misterioso para mi: también en matemáticas se puede tener opiniones y a mi siempre me dijeron que 2+2 son 4 "si las matemáticas no son una opinión"
En todo caso, recuerdo el viejo dicho: en pleito de tigres no se meten los pollinos. Pero el segundo párrafo me dejo pasmado.
En la Wiki:
ResponderBorrarThe major problem of mathematical platonism is this: precisely where and how do the mathematical entities exist, and how do we know about them? Is there a world, completely separate from our physical one, that is occupied by the mathematical entities? How can we gain access to this separate world and discover truths about the entities? One answer might be the Ultimate Ensemble, which is a theory that postulates all structures that exist mathematically also exist physically in their own universe.
No me suena.
O mejor dicho: me suena a metafísica.
ResponderBorrarMiguel Angel podría haber dicho: todas las estatuas que puedan imaginarse existen en algun universo, y algunas mas que no nos podamos imaginar.
Pero creo que estoy siendo algo atrevido.
Expando mi postura anterior respecto del tamaño del universo.
ResponderBorrarCon la palabra "universo" me estoy refiriendo a la burbuja espacio-tiempo en la cual nos encontramos ahora, no a la acepción "multiverso" que podría darse a la palabra "universo".
Esta burbuja inició su expansión desde un volumen muy pequeño y ha estado creciendo a una velocidad finita durante un tiempo finito (13.800 millones de años). Entiendo que durante la –supuesta- fase inflacionaria la velocidad de expansión excedió holgadamente a la de la luz, pero aún así fue finita.
Como distancia = velocidad x tiempo, si los factores fueron finitos, el resultado no podría ser infinito.
Dada la enorme velocidad de expansión inicial, se piensa que la zona conocida u observable del universo podría ser una ínfima fracción del total, debido a que la luz de esas remotas regiones nunca podría alcanzarnos.
Pero aún así, esta burbuja seguiría siendo finita en tamaño, así como lo es en la dimensión temporal.
Ese es mi razonamiento actual, sujeto naturalmente a cambios imprevistos :)
Saludos.
Voltaire:
ResponderBorrarEl texto que copias me resulta muy sorprendente. Será que ha cambiado de postura Zeilberger?
Como se puede ser ultrafinitista, que es una versión extrema del constructivismo matemático, y luego decir que uno es platonista? Serán de diferentes épocas?
En fin, no es Zeilberger el tema.
Con respecto a Cantor, el que se hable de infinitos y hasta se usen y exista un símbolo para el mismo no significa que existan. Y claro que se habla de ellos, como se habla de dios en teología.
Tampoco me suena eso de un "mundo" físico separado en el cual todas las estructuras matemáticas posibles existan.
Jack:
Concuerdo con tu razonamiento, pero debemos aceptar que no sabemos.
Y la filosofía o lógica no ayuda pues hay críticas posibles para la postura que dice que es infinito y la que dice que no.
Lamentablemente, por lo que ahora recuerdo, los experimentos destinados a ver si tenía curvatura no dieron resultados contundentes.
ResponderBorrarAtilio
Las opiniones de Zeilberger que cité estan en este "paper", en la parte final encabezada con el título "Philosophical Conclusions"
http://www.math.rutgers.edu/~zeilberg/mamarim/mamarimPDF/real.pdf
"Con respecto a Cantor, el que se hable de infinitos y hasta se usen y exista un símbolo para el mismo no significa que existan. Y claro que se habla de ellos, como se habla de dios en teología."
Yo no se si existen infinitos materiales. Y en cuanto a los infinitos matemáticos, ellos no son infinitos materiales, si es que existen tales infinitos matemáticos.
Siempre he asumido que los infinitos matemáticos "existen" a partir de lo que se define como "existencia" en matemáticas: aquellas propuestas cuyos axiomas son consistentes entre si, o dicho de otra manera, no son inconsistente o contradictorios. Esa definición me la aprendí hace mucho, pero no se si ha cambiado. Y por supuesto, esa definición no tiene nada que ver con el mundo material. En el mundo material no solo importa si la proposición es consistente para probar la existencia de algo; además de necesitarse que la proposición sea consistente, también se necesita "evidencia material", que no es el caso en matemáticas.
La proposición de la existencia de dios no es una proposición matemática, sino teológica y conectada con el mundo material.
Sobre el paper de Zeilberger
ResponderBorrarComienza haciendo una diferencia entre matemáticas discretas y continuas, afirmando que las matemáticas continuas son una aproximación a las discretas y no al revés (como se piensa comúnmente), porque el mundo real es discreto, es decir, compuesto de unidades indivisibles.
Ejemplos:
- las integrales son aproximaciones de las sumatorias, aunque normalmente se considere que es lo contrario.
- las ecuaciones fundamentales son las ecuaciones en diferencias, no las ecuaciones diferenciales.
Mi opinión: supongo que es algo que interesa más a los filósofos que a quienes utilizan diariamente esas herramientas matemáticas para hacer el trabajo, porque para superar la exactitud del cálculo continuo usando matemáticas discretas se puede necesitar una enorme cantidad de operaciones. Por otro lado, muchos problemas reales no pueden ser resueltos mediante cálculo continuo debido a su complejidad, y se abordan rutinariamente en forma discreta. Así que ambas representaciones matemáticas son útiles, pero estamos hablando de filosofía, así que la mayor o menor utilidad no es lo más importante.
Luego viene esta afirmación:
"The mathematical (and physical) universe is a huge (but FINITE) DIGITAL computer."
Y más adelante:
"So I deny even the existence of the Peano axiom that every integer has a successor. Eventually we would get an overflow error in the big computer in the sky, and the sum and product of any two integers is well-defined only if the result is less than p, or if one wishes, one can compute them modulo p. Since p is so large, this is not a practical problem, since the overflow in our earthly computers comes so much sooner than the overflow errors in the big computer in the sky."
Entonces, el universo sería -¿el producto de?- un inmenso computador digital capaz de manejar números colosales, pero finitos. Por ejemplo, no tendría sentido contar más puntos en el espacio que su volumen total dividido por el volumen de Planck (o algo así), y como esos puntos son generados por el gran computador, al tratar de ir más allá se produciría un overflow y volveríamos a cero.
No sé si lo interpreté bien.
Yo tengo ganas de decir algunas cosas irresponsables aprovechándome de que he advertido que soy un ignorante en matemáticas y tambien de que Zeilberger advierte que él mismo no es un "filósofo profesional de las matemáticas ni un experto en lógica, ni un fundacionalista".
ResponderBorrarPero antes de hacerlo me gustaría oir al señor Cuartero que a veces aclara bastante las cosas, porque me parece que aqui están incluidos no solo el señor Peano sino también los señores Goedel y Zermelo-Frankel (incompleteness theorem y "conjuntos bien definidos")
Esta discusión es bien complicada. :)
salu2
Voltaire:
ResponderBorrarDecir que los infinitos físicos no existen y luego decir que es posible que existan en otro lado es proponer dualismo.
No hay "otro lado" ni metáforas ni abstracciones que vivan en algún otro lugar.
"Las ideas son materiales", el viejo y defectuoso eslogan de mi autoría refiriendo a que las ideas están codificadas en el cerebro, confirma que no se puede codificar isomórficamente un infinito en una cantidad de materia finita. Es un concepto sin referente real.
O si lo tiene? Bien, depende de donde estemos situados a nivel cosmológico. Los lingüistas y semióticos, los estructuralistas, postmo y gente decente dicen que el vocablo "infinito" tiene como significado la representación mental de infinito.
Si la mente existe fuera de su sustrato físico, el cerebro, estaríamos hablando entonces de dualismo. Cualquier concepto o idea debe estar codificado, de alguna manera material, sino no existe.
Cuando colgué el paper de Zeilberger no había sino mirado muy rápidamente, particularmente el comienzo, y ello me dio la sensación de apoyar la postura naturalista. Veo que el mismo autor tiene algunos problemas de tipo filosófico.
Repito lo dicho antes, el ultrafinitismo es una forma extrema del intuicionismo que considera que las matemáticas se crean y no se descubren. No debería ser platonista entonces y se comprende porqué es un "discretista" en matemáticas.
Pero, gracias a JACK, creo que podemos explicar las aparentes contradicciones.
Si Zeilberger considera que el universo es un ordenador digital gigante y finito, entonces su dualismo es el de los que piensan dentro de la teoría de la información.
Es bien sabido y observado que aquellos que consideran la información algo en sí no pueden evitar ser dualistas. Es la famosa "sonata" que hasta filósofos ateos como Dennett afirman que existe en si.
Yo estoy bien fuera de mi nivel en esto. Pero puedo refugiarme en mi convicción que no hay nada fuera del mundo natural y, por ende, los infinitos no pueden existir. Son como el concepto de dios católico para los buenistas, una pseudoidea.
Y justo que pensaba en el concepto de dios para los buenistas (y todo el mundo con un mínimo conocimiento de lógica clásica) me llega un artículo sobre Craig, el apologista citado en el post, los infinitos y dios, todo junto y completa mi explicación:
http://www.richarddawkins.net/foundation_articles/2014/1/8/review-of-dot-dot-dot-infinity-plus-god-equals-folly?category=Foundation
Saludos.
ResponderBorrarEn atheist Movies esta el documental con subtítulos en inglés y español para quien le interese
http://atheistmovies.blogspot.com.es/2010/02/bbc-horizon-to-infinity-and-beyond.html
Hola Demócrito, gracias por el dato.
ResponderBorrarDisculpen que llegue tarde, pero no había visto el tema hasta ahora.
ResponderBorrarMi opinión sobre lo tratado es la siguiente:
1.- Las matemáticas NO son opinables. Se demuestran o no se demuestran. Si algo está demostrado, no hay discusión, y si no lo está, es una conjetura, y como tal válida sólo para quien la propugna o para cualquier otro que quiera estudiar las consecuencias de la misma, pero para nadie más.
2.- Independientemente de lo anterior, una teoría matemática parte de unos axiomas, que deben ser aceptados para considerar algo válidamente demostrado. Es perfectamente legítimo, y por tanto opinable, el aceptar o no determinados axiomas. Las teorías alcanzadas son diferentes. Si alguien no acepta el axioma de Peano de la inducción, tiene una teoría diferente de alguien que sí lo acepta. Entonces es absurdo discutir sobre los resultados alcanzados en ese caso. No existen los infinitos para uno y sí existen para otro, pero estamos hablando de cosas diferentes.
3.- Relacionado con lo anterior está el caso de si los resultados de una teoría matemática son aplicables a las situaciones reales del mundo físico. No todas las teorías matemáticas son válidas aquí, aunque sean legítimas en el mundo matemático. Así, me gustaría que alguien que propugna una teoría de números sin aceptar el axioma de Peano que he dicho antes, me explique la relación de su teoría con el mundo físico. En tanto no la vea, no me creo que exista esa relación, como sí que está plenamente aceptada la relación de la aritmética de Peano con dicho mundo físico.
4.- Así pues, y en consonancia con lo dicho, la teoría de Cantor de los infinitos es una teoría matemática perfectamente legítima y demostrada. Además, es la única consistente con la aritmética de Peano, en el sentido de que si existe el infinito alef-0 que se obtiene del axioma de inducción de dicha teoría, entonces también existen necesariamente los infinitos alef-1, alef-2, etc, todos ellos diferentes que propugna la otra. Por lo que si se acepta una cosa, debe aceptarse la otra. Eso sí, en tal caso existen como objetos matemáticos en dicha teoría, sin que necesariamente deban existir objetos reales en el mundo físico a que estén en correspondencia. Pueden existir o pueden no existir.
5.- Mi opinión personal en este punto, que sí que es opinable en ausencia de pruebas en uno u otro sentido, coincide con la de Einstein: Sólo existen dos cosas infinitas, el tamaño del universo y la estupidez humana; pero de lo primero no estoy seguro.
Un muy buen programa sobre el tema de lso infinitos:
ResponderBorrarhttp://worldsciencefestival.com/videos/full_program_infinity
Oye, Jack, gracias por la explicación de lo de que el universo debe ser finito por esto y lo otro. Por mi parte, no creo que pueda existir tal cosa como el número más grande en el universo (o en el más allá del universo) tal que al sumarle 1 te de cero. Mi argumento (puedo estarme equivocando, es sólo un argumento) es: Asumamos la existencia de tal número. Entonces se expresaría tal que n+1=0. Despejamos para n y obtenemos n=(-1). Pero sería una solución extraña ya que (-1)^2=1, indicando que 1 es más grande aún, lo cual contradice nuestra asunción. Asumiendo que la definición no descrita con detalle, corregimos el error y lo definimos tal que ni si quiera el cuadrado de ese número es mayor que el número mismo. Dadas las condiciones, tendríamos que establecer las siguientes desigualdades: n^2 menor o igual que n; (n^2)/n menor o igual que 1; 1 menor o igual que n. Ya que las tres condiciones deben cumplirse, tendemos como resultado: 1 menor o igual que n menor o igual que 1. Al simplificar nos da n=1. Lo cual vuelve a causar contradicción debido a que 2>1, pero ya habíamos asumido que n, el cual es 1, debía ser el número más grande que existe. Y poniendo otras condiciones en la desigualdad para establecer propiedades de tal número y así hallar su valor dejaría un resultado indeterminado o indefinido. Si trataramos de corregir otra vez para establecer más condiciones para así obtener tal número, seguríamos obteniendo contradiciones de forma infinita, esto último confirmaría la absoluta imposibilidad de nuestra hipótesis, demostrando así que no podría haber tal número, de lo contrario todos los números tendrían el mismo valor absoluto, lo cual no ocurre por lo mismo mencionado anteriormente. Eso desarolla con clarificació y lógica mi teoría: "No existe un número que pueda ser considerado más grande que cualquier otro, dígase algebraicamente un número N tal que N>0/0, porque para todo número n existe n+1."
ResponderBorrarAhora bien, si creo en la existencia del infinito, pero no en el contexto de número, sino de concepto.
De hecho voy a corregir mi propia teoría ya que esta muy mal detallada: "No existe un número N tal que las tres siguientes condiciones sean cumplidas:
ResponderBorrar1_ │N│>│{0/0}│, con 0/0 siendo la generalización de todos los números hipercomplejos e hiperreales y {0/0} siendo cada elemento dentro del conjunto de 0/0.
2_ N>N+1.
3_ N<N^2."
Ya esta, esa es i teoría. Si, ya se que aún me falta mucho como matemático, pero apenas tengo 14, al menos estoy haciendo algún uso de la lógica.
Otra cosa, quería decir que aunque el universo parezca finito, debemos recalcar que no conocemos todas las regiones del universo, y no se sabe de que el universo pueda estar dividido y que no sea el universo en sí lo que se expande y se contrae sino esa división per se.
Hola A14, gracias por tu aporte.
ResponderBorrarA mí también me parece que postular la existencia del "número más grande" conduce a absurdos como los que expones.
Respecto del tamaño del universo, es cierto que no podemos saber si es finito o infinito, pero mi suposición está basada en que la expansión se habría llevado a cabo a una velocidad finita durante un tiempo finito, así que el tamaño tendría que ser finito.
Se puede contra argumentar que el universo se expandió tan rápido durante la etapa inflacionaria que buena parte de él es invisible para nosotros. Algunos postulan que el universo bien podría ser un gúgol veces mayor que la zona visible, pero ese tamaño sería finito, de todas formas.
Otra posibilidad es que sea infinito en el sentido de que si viajamos lo suficiente en una dirección eventualmente volveríamos al punto de partida, como si estuviéramos recorriendo la superficie de la Tierra, pero no me parece correcto decir que es "infinito" en ese caso.
Ahora, si admitimos la posibilidad de que el universo sea infinito en tamaño, veo los siguientes problemas:
1) El número de partículas elementales en el universo tendría que ser infinito. El número de átomos de hidrógeno en el universo tendría que ser infinito. ¿Cómo lo compatibilizamos con la negación de la existencia del número infinito?
2) Aplicaría el escenario de Tegmark. Como el número de combinaciones de las partículas elementales es finito y el tamaño del universo infinito, necesariamente todas las combinaciones de esas partículas tendrían que estar repetidas ¡infinitas veces! Existirían infinitas copias de este planeta, muchas idénticas y otras con ligeras variantes. En algunas Hitler habría ganado la guerra, en otras la URSS y EEUU se habrían saludado con cientos de misiles balísticos y el planeta estaría envenenado con radioactividad, otras se habrían salvado del asteroide K-T y los dinosaurios todavía dominarían el planeta, en otras JC no habría sido crucificado, y lo peor de todo, es que en algunas existirían copias mías que serían ¡creyentes! :)
¿Qué piensas?
Saludos.
Solo querría hacer una aclaración rápida.
ResponderBorrarLa posición de Zeilberger es extraña, es cierto, pero no creo que se pueda reducir a un mero "existe el número más grande".
Esa afirmación es NECESARIA para aquellos como Bostrom, por ejemplo, que creen en un universo simulado pues, como parte de un programa que necesariamente debe ser finito, tiene que existir el número más grande en varios sectores de la realidad: el número de partículas fundamentales, el número de veces que cosas pueden suceder, el número de combinaciones posible de toda la materia, el número máximo de historias posibles, etc.
Lo que sí es interesante es que el ultrafinitismo es una de las posturas que concibe la realidad como finita porque simplemente NO HAY otra opción ante la obvia imposibilidad de demostrar cualquier cosa infinita.
Sería mejor si se abordase el tema desde el punto de vista sugerido por otro nombre del mismo grupo de posturas: ACTUALISMO, refiriéndose al universo ACTUAL, es decir, real.
Decir que se puede demostrar el infinito con la mera formulación de N + 1 es igual que decir que se puede probar una entidad inexistente, digamos Zeus, por el uso de otro nombre, digamos Júpiter.
Saludos.
Coincido con A14 cuando dice: "Ahora bien, sí creo en la existencia del infinito, pero no en el contexto de número, sino de concepto.", y no sé quién estaría postulando la existencia del número infinito aquí, excepto algunos de los especialistas que aparecen en la entrada (Hugh Woodin, por ejemplo).
ResponderBorrarSeguramente la posición de Zeilberger no se puede reducir a un mero "existe el número más grande", pero incluye esa afirmación. Está citado en la entrada, diciendo:
"Cuando comenzamos a contar, aparentemente podemos continuar para siempre, pero eventualmente alcanzaremos el número más grande, y entonces, al añadirle 1, volveremos a cero. ...El número más grande es mucho mayor que lo que se pueda imaginar. Es más grande que un Gúgolplex, más grande incluso que un Gúgolplex elevado a un Gúgolplex... es tan inmenso que nunca podremos visualizarlo. Pero existe. Y si lo alcanzamos y seguimos contando, volveremos a cero. Es como caminar sobre el planeta: eventualmente volveremos al punto de partida. Y si eso les parece absurdo, consideren la alternativa: es más absurda aún…"
No dice cuál es esa alternativa que considera más absurda aún, pero supongo que se refiere a la existencia del número infinito.
Lo que me gustaría que alguien me explicara es porqué Zeilberger se asusta a tal grado ante la amenaza del infinito como para llegar a inventarse un "número más grande", pasado el cual la cuenta vuelve a cero.
Como ya he dicho varias veces, pienso que se puede seguir contando indefinidamente sin llegar nunca a infinito.
Saludos.
A los tiempos vuelvo a abrir la página del blog y como siempre encuentro excelente información. Felicitaciones por el artículo, muy bueno.
ResponderBorrarGracias, Plissken :)
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